Denne artikel handler om de fundamentale sætninger fra sandsynlighedsregningen, der forklarer, hvorfor dine spil går, som de går. Sætningern er bevist med noget meget teknisk såkaldt mål-og-integral matematik, men de vil ikke blive gennemgået her.
Hvad er sandsynlighedsregning?
Sandsynlighedsregningen er læren om at omsætte udtryk som "tilfældige hændelser" til matematik og regne på forskellige sandsynligheder og udtryk. Der findes naturligvis mange tykke bøger med forskellige resultater, men i denne artikel skal vi fokusere på to sætninger, der direkte har betydning for dine spil nemlig "store tals stærke lov" og "optional sampling".
Hvis du er den type, der stiller spørgsmålstegn ved alt, så vil du måske tænke "hvad er egentligt en tilfældig hændelse?", eller "er der overhovedet noget, der er tilfældigt?".
Godt spørgsmål! Der er faktisk folk inden for statistikken, der mener at der ikke findes nogen tilfældige hændelser: når en terning lander på 2, er det fordi, du har kastet den som du har. Når en fodboldkamp ender 2-1 med 37 frispark og 18 hjørnespark er det ikke tilfældigt men bare svært forudsigeligt.
Det betyder dog ikke, at sandsynlighedsregningen er overflødig, for problemet er, at vi ikke kan forudsige, hvordan terningerne lander. Derfor bruger man sandsynlighedsregningen til at strukturere sin manglende viden, og bruge den viden man har til at beskrive det ukendte.
Store tals stærke lov
Vi starter med store tals stærke lov. Sætningen bekræfter det du måske synes er oplagt: hvis du spiller det samme spil mange gange, vil gennemsnittet af spillene ligge sig lige omkring middelværdien. Hvis du slår med en terning 60.000 gange, vil du altså få omkring 10.000 6'ere, og hvis du bookmaker 60.000 gange på kampe hvor, oddset er 4 og du har 33% chance for gevinst, vil du vinde ca. 20.000 gange. Hvis du har satset 1 kr. hver gang, vil du få ca. 20.000 kr i overskud. Tilsvarende er det selvfølgeligt også en sætning, der får casinoerne til at sove roligt om natten: de skal nok vinde i længden.
Mere om situationen for casinoerne nedenfor i sætningen om optional sampling.
Først skal vi lige have afklaret, hvad vi helt præcist mener med store tals stærke lov.
Sætningen om de store tals stærke lov:
Hvis X1 , X2 , ... er uafhængige, identisk fordelte, reelle stokastiske variable med  gælder at
hvor 
Bemærkning 1: n.s er en forkortelse for næsten sikkert, og næsten sikkert betyder at
altså at sandsynligheden er 1 ! Det er jo ikke det man umildbart vil forstå ved næsten sikkert, men formuleringen fremkommer naturligt, når sandsynlighedsregningen skal omsættes til matematik.
Bemærkning 2: Sætningens svaghed er, at den ikke udtaler sig om, hvor hurtigt konvergensen sker. Den udtaler sig ikke om hvor mange gange vi skal udføre vores bookmaking spil for at være 99,9 procent sikker på, at vi har overskud. Hvis man vil undersøge det, må man gribe fat i andre resultater fra sandsynlighedsregningen eller simulere med hjælp fra en computer.
Loven om optional sampling
Hvis store tals stærke lov fik casinoerne til at sove roligt om natten, så får optional sampling dem til at drømme søde drømme! Loven beviser nemlig det, som du måske ikke troede, man kunne bevise: casinoerne kan ikke besejres!!. Ligegyldigt hvilket sindrigt system du finder på, f.eks fordoble dine indsatser, når du taber, eller når du vinder, kan du aldrig få vendt spillet til din fordel. Så hvis en fyr fortæller dig at han har fundet systemet så han kan slå casinoet, så henvis ham til TipsOmTips og fortæl ham, at han vrøvler (medmindre selvfølgelig casinoet giver ham lokkende velkomsttilbud eller jackpotten på spillemaskinerne er blevet enorm høj eller lignende).
Sætningen fortæller så til gengæld også, at hvis du hos en bookmaker finder spil med positivt afkast, så er det ligegyldigt hvor mange penge du spiller for i de enkelte spil: du vil altid vinde i længden.
Lad os få gjort det formelt.
Sætningen om Optional Sampling:
Lad  være en submartingal (martingal) og lad  være en følge af sampling tider. Hvis
(a) 
(b) 
så er  en submartingal (martingal) 
Bemærkning 1: En submartingal er,lidt løst formuleret en følge af stokstiske variable med forventet voksende middelværdi. I spillesprog forestiller man sig, at Xn er udviklingen af din samlede gevinst/tab. Hvis du er god til at oddse vil udviklingen af din kapital altså være en submartingal. En Supermartingal er det modsatte af en submartingal, og sætningen gælder også for disse spil med negativt afkast.
Bemærkning 2: En sampling tid er en endelig stoppetid. En stopppetid er en stokastisk variabel, som afgør om et givent spil skal med eller ej ud fra de foregående spil.
Bemærkning 3: Betingelserne i sætningen er svage, og vil ihvertfald være opfyldt i alle tænklige former for spil.
Bemærkning 4: Sætningen siger strengt taget kun noget om, hvorvidt spilleren kan forvente overskud, hvis han vælger at stoppe på noget han mener er gunstige tidspunkter (han kan altså ikke forvente overskud). Men det er nemt at vise at en strategi, som omtalt ovenfor med f.eks at fordoble indsatsen på bestemte tidspunkter, heller ikke kan ændre spillet i spillerens favør.
Kommentarer til denne artikel kan postes i forumet "Diverse".
Hvis du har et spilrelateret emne du gerne vil have skrevet en lille artikel om, så send en mail til os.
|
Alle artikler
Chatten!
